cos(2π/5)（＝cos72°）の値をガロア群を用いて求める

$$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$$

であることは様々な方法で求められる．（高等学校の知識でも十分求められる．）

ここでは，円分体のGalois群$ Gal(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}) $を用いた求め方を紹介する．

前提知識は，大学数学の群論や体論，ガロア(Galois)理論の知識である．ただし，$ \zeta_n=e^{2\pi \sqrt{-1} /n}=\cos \frac{2\pi}{n} + \sqrt{-1} \sin \frac{2\pi}{n} $である．
【証明】
まず，円分体のGalois理論の結果として，

$$Gal(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}$$がわかる．以後，$ \zeta = \zeta_5 $とする．

$ (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times} $の生成元を考える．$ \bar{2} $をかけることにより，$$\bar{1} \to \bar{2} \to \bar{4} \to \bar{3}$$と移っていくから，$ \bar{2} $は$ (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times} $の生成元である．上の同型の対応により，$ \sigma \in Gal(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}) $を，$ \sigma(\zeta)=\zeta^2 $ となるものとすると，$ \sigma $ が$ Gal(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}) $の生成元である．$ \alpha = \zeta +\zeta^4 ，\beta =\zeta^2 + \zeta^3 $ とすると，

\begin{eqnarray}
(x-\alpha)(x-\beta) &=& x^2-(\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4)x+(\zeta^3+\zeta^4+\zeta^6+\zeta^7)\\
&=&x^2+x-1
\end{eqnarray}

である．よって，$ \alpha ,\beta $ は$ x^2+x-1 $の根であり，$ \alpha > 0$より，$ \displaystyle \alpha=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $である．$ \displaystyle \alpha = \zeta +\zeta^4 = 2 \cos \frac{2\pi}{5} $なので，$$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$$である．【証明終】

このポイントは，$ \alpha = \zeta +\zeta^4 ，\beta =\zeta^2 + \zeta^3 $とおくところである．$ \alpha $や$ \beta $は，このようにおけば，$ Gal(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}) $の生成元$ \sigma $ によって，$ \alpha \rightarrow \beta \rightarrow \alpha $と移り合う．このことより，$ \alpha , \beta $を根とする多項式は$ Gal(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}) $の元によって不変であるから，これは$ \mathbb{Q} $上の多項式である．（特に，$ \alpha , \beta \notin \mathbb{Q}$なので，これは$ \alpha , \beta $の$ \mathbb{Q} $上の最小多項式である．）

参考文献