今回は,∫∞0sinxxsdxが収束・絶対収束するためのsの必要十分条件を考えます.結論から言うと,以下のようなことが知られています.
広義積分∫∞0sinxxsdxが収束するための必要十分条件は,0<s<2である.また絶対収束するための必要十分条件は1<s<2である.
この広義積分はx=0とx→∞のところで問題となっているので,あるc∈(0,∞)をとって∫c0と∫∞cの収束性をそれぞれ確認すれば良いですね.今回は∫10と∫∞1に分けて考えようと思います.(ちなみに収束性はこのcのとり方に依存しません.それは,cの代わりにc′をとっても,∫c′cは通常の積分なので,収束性には影響しないことから分かります.)
さて,今からこの表を埋めていきます.他の問題にも対応できるように,できるだけ直接示していこうと思います.
∫10sinxxsdx | ∫∞1sinxxsdx | |
s≤0 | ||
0<s<1 | ||
s=1 | ||
1<s<2 | ||
2≤s |
まず∫10sinxxsdxを考えます.
s≤0のときは,被積分関数に特異点はなく,これは通常の積分ですので収束します.
それ以外の場合について,素直に広義積分の定義に従って考えていきましょう.
0<ε<1として,
∫1εsinxxsdx=∫1εsinxxx1−sdx≤∫1εx1−sdx
と評価できます.最後の不等式は,x∈(0,1)でsinxx≤1であることを用いました.
ここで最後の式は,1−s=−1すなわちs=2なら,
∫1εx1−sdx=−logε→∞(asε→+0)
であり,1−s≠−1すなわちs≠2なら
∫1εx1−sdx=12−s(1−ε2−s)→{∞(2−s<0)12−s(2−s>0)(asε→+0)
であるので,結局,2−s>0すなわちs<2のとき,
∫1εsinxxsdx≤∫1εx1−sdx→12−s(asε→+0)
が分かりました.x∈(0,1]でsinxxは正の値なので,∫1εsinxxsdxはε→+0で(積分区間が増大するため,)増大します.s<2のときに上に有界(12−sで抑えられている)ということなので,これは収束します.
さて,ここまでの議論でs<2なら∫10sinxxsdxは収束することがわかりましたが,これが絶対収束であることは,全く同じ議論で示されます.なぜなら,x∈(0,1]でsinxxは正の値なので,∫1ε|sinxxs|dx=∫1εsinxxsdxだからです.もちろんs≤0のとき(通常の積分のとき)も同様です.
また,ここまでの議論では2≤sで発散することは示されていませんので,そこを示していきます.
ここでx∈[0,π2]のとき2πx≤sinxであることから,x∈(0,1]において2πx≤sinxx2なので,2≤sのとき,
∫1εsinxxsdx≥∫1εsinxx2dx≥∫1ε2πxdx=2π(−logε)→∞(asε→+0)
となり,発散することがわかります.
ちなみに,議論③で用いた不等式2πx≤sinx(x∈[0,π2])は,y=2πxとy=sinxのグラフを書けば簡単に理解できます.この不等式は,よく複素関数論(の応用)の複素積分の値の評価で用いられます.(複素積分を勉強したことがある人なら,見覚えがあると思います.)
ここまでの議論で分かったことをまとめてみます.
∫10sinxxsdx | ∫∞1sinxxsdx | |
s≤0 | (絶対)収束 (議論①) | |
0<s<1 | (絶対)収束 (議論②) | |
s=1 | (絶対)収束 (議論②) | |
1<s<2 | (絶対)収束 (議論②) | |
2≤s | 発散 (議論③) |
次に,∫∞1sinxxsdxを考えます.
s≤0のとき,∫∞1sinxxsdxは明らかに発散します.
もう少し詳しくいうと,sinxxs=x−ssinxはx→∞で振動するので,M>1として∫M1sinxxsdxを考えると,M→∞でこれも振動します.すなわち,∫∞1sinxxsdxは発散します.
0<s≤1とします.広義積分の収束に関するコーシーの判定法を用いて,∫∞1sinxxsdxが収束することを示していきます.
0<p<qとして,
∫qpsinxxsdx=[−cosxxs]–∫qpcosxxs+1dxより,
|∫qpsinxxsdx|=|−cosqqs+cospps−∫qpcosxxs+1dx|≤1qs+1ps+∫qp1xs+1dx=(1−1s)1qs+(1+1s)1ps≤(1+1s)1ps→0(asp→∞)
となることから,コーシーの判定法により収束します.
さて,この議論⑤で,0<s≤1のとき∫∞1sinxxsdxが収束することがわかりました.しかし実はこれは絶対収束ではありません.(すなわち,条件収束です.)これを示していきます.
(0<)s≤1に対して,∫∞1|sinxxs|dxが発散することを示します.
n∈Nとして,
∫(n+1)πnπ|sinx|xsdx=∫π0sint(t+nπ)sdt>1(t+nπ)s∫π0sintdt=2πs1(n+1)s
であるから,
∫nπ1|sinx|xsdx=n−1∑k=1∫(k+1)πkπ|sinx|xsdx>n−1∑k=12πs1(k+1)s=2πsn−1∑k=11(k+1)s=2πsn∑k=21ks
となり,(0<)s≤1のとき∑nk=21ks→∞(asn→∞)より,∫∞1|sinxxs|dxも発散します.
さて,最後に,1<sのときを考えていきましょう.このときは,絶対収束であることが簡単にわかるので,これを示していきます.(絶対収束ならば収束なので,この議論だけで十分です.収束を示すより絶対収束を示す方が簡単な場合は,お得です(?).)
1<sのとき,∫∞1|sinxxs|dxが収束することを示します.x≥1において,
|sinxxs|≤1xsであり,1<sのとき∫∞11xsdxは収束します.よって,優関数定理より,∫∞1|sinxxs|dxは収束します.
ちなみに,今の議論で優関数定理と言いましたが,これは単純に(真面目に)広義積分の計算をするのとほとんど変わりません.(素直に,M>1として∫M1を考え,同じ積分区間で収束するような関数(優関数)で上から評価してあげたら,M→∞で増加かつ上に有界であることから,収束することがすぐにわかります.優関数定理は,それを定理として言ってるだけです.)
さて,ここまでで分かったことを表にまとめてみましょう.
∫10sinxxsdx | ∫∞1sinxxsdx | |
s≤0 | (絶対)収束 (議論①) | 発散(議論④) |
0<s<1 | (絶対)収束 (議論②) | (条件)収束 (議論⑤,⑥) |
s=1 | (絶対)収束 (議論②) | (条件)収束 (議論⑤,⑥) |
1<s<2 | (絶対)収束 (議論②) | (絶対)収束 (議論⑦) |
2≤s | 発散 (議論③) | (絶対)収束 (議論⑦) |
以上のことから,∫∞0sinxxsdxが収束・絶対収束するためのsの必要十分条件を考えると,
∫∞0sinxxsdxが収束⟺∫10sinxxsdxが収束,かつ∫∞1sinxxsdxが収束⟺s<2かつ0<s⟺0<s<2
∫∞0sinxxsdxが絶対収束⟺∫∞0|sinxxs|dxが収束⟺∫10|sinxxs|dxが収束,かつ∫∞1|sinxxs|dxが収束⟺s<2かつ1<s⟺1<s<2
という結果が得られました.
それぞれの議論はあくまで一例であり,他にも示し方は色々あるので,考えてみてくださいね.例えば,s=1のときの∫10sinxxsdxの収束性は,議論②のように真面目にやらなくても,sinxx→1(asx→+0)より,収束性が問題になることはありません.詳しく言えば,x=0の近傍で,優関数として定数関数が取れるので,有限区間の積分が発散することはありません.
ちなみに,s=1のときのこの広義積分∫∞0sinxxdxは,ディリクレ(Dirichlet)積分と言われていて,∫∞0sinxxdx=π2であることが知られています.この値は,例えば複素積分を用いて導出することができます.(工学部の複素関数論の講義では,大抵やると思います.)
Dirichlet積分とその関連事項について,色々考察されているサイトがあったので,リンクを貼っておきます.
コメント