sinx/x^sの広義積分（ディリクレ積分の拡張）の絶対収束・収束性

広義積分$$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x^s}dx$$が収束するための必要十分条件は，$0<s<2$である．また絶対収束するための必要十分条件は$1<s<2$である．

$s \le 0$のときは，被積分関数に特異点はなく，これは通常の積分ですので収束します．

$0<\varepsilon<1$として，

\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{1}\frac{\sin x}{x^s}dx &=& \int_{\varepsilon}^{1}\frac{\sin x}{x}x^{1-s}dx\\ &\le& \int_{\varepsilon}^{1}x^{1-s}dx
\end{eqnarray}
と評価できます．最後の不等式は，$x \in (0,1)$で$\frac{\sin x}{x} \le 1$であることを用いました．

ここで最後の式は，$1-s =-1$すなわち$s=2$なら，
$$\int_{\varepsilon}^{1}x^{1-s}dx=-\log \varepsilon \to \infty \quad (as \quad \varepsilon \to +0)$$
であり，$1-s \neq -1$すなわち$s \neq 2$なら

\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{1}x^{1-s}dx=\frac{1}{2-s}(1-\varepsilon^{2-s}) \to
\begin{cases}
\infty & ( 2-s < 0 ) \\
\frac{1}{2-s} & ( 2-s > 0 )
\end{cases}
\quad (as \quad \varepsilon \to +0)
\end{eqnarray}

であるので，結局，$2-s > 0$すなわち$s < 2$のとき，

\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{1}\frac{\sin x}{x^s}dx &\le& \int_{\varepsilon}^{1}x^{1-s}dx \to \frac{1}{2-s} \quad (as \quad \varepsilon \to +0)
\end{eqnarray}

が分かりました．$x \in (0,1]$で$\frac{\sin x}{x}$は正の値なので，$\int_{\varepsilon}^{1}\frac{\sin x}{x^s}dx$は$\varepsilon \to +0$で（積分区間が増大するため，）増大します．$s<2$のときに上に有界（$\frac{1}{2-s}$で抑えられている）ということなので，これは収束します．

ここで$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$のとき$\frac{2}{\pi}x \le \sin x$であることから，$x \in (0,1]$において$\frac{2}{\pi x} \le \frac{\sin x}{x^2}$なので，$2 \le s$のとき，

\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{1}\frac{\sin x}{x^s}dx
&\ge& \int_{\varepsilon}^{1}\frac{\sin x}{x^2}dx\\
&\ge& \int_{\varepsilon}^{1}\frac{2}{\pi x}dx \\
&=& \frac{2}{\pi}(-\log \varepsilon) \to \infty \quad (as \quad \varepsilon \to +0)
\end{eqnarray}

となり，発散することがわかります．

$s \le 0$のとき，$\int_1^{\infty}\frac{\sin x}{x^s}dx$は明らかに発散します．

もう少し詳しくいうと，$\frac{\sin x}{x^s}=x^{-s}\sin x$は$x \to \infty$で振動するので，$M>1$として$\int_1^{M}\frac{\sin x}{x^s}dx$を考えると，$M \to \infty$でこれも振動します．すなわち，$\int_1^{\infty}\frac{\sin x}{x^s}dx$は発散します．

$0<s \le1$とします．広義積分の収束に関するコーシーの判定法を用いて，$\int_1^{\infty}\frac{\sin x}{x^s}dx$が収束することを示していきます．

$0<p<q$として，

$$\int_p^q\frac{\sin x}{x^s}dx=\left[ \frac{-\cos x}{x^s} \right] – \int_p^q\frac{\cos x}{x^{s+1}}dx$$より，

\begin{eqnarray}
\left| \int_p^q\frac{\sin x}{x^s}dx \right|
&=& \left| -\frac{\cos q}{q^s} +\frac{\cos p}{p^s} -\int_p^q\frac{\cos x}{x^{s+1}}dx \right| \\
&\le& \frac{1}{q^s}+\frac{1}{p^s}+\int_p^q\frac{1}{x^{s+1}}dx \\
&=& \left( 1-\frac{1}{s} \right)\frac{1}{q^s}+\left( 1+\frac{1}{s} \right)\frac{1}{p^s} \\
&\le& \left( 1+\frac{1}{s} \right)\frac{1}{p^s} \to 0 \quad (as \quad p \to \infty)
\end{eqnarray}

となることから，コーシーの判定法により収束します．

$(0<)s \le 1$に対して，$\int_1^{\infty}|\frac{\sin x}{x^s}|dx$が発散することを示します．

$n \in \mathbb{N}$として，
\begin{eqnarray}
\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x^s}dx
&=& \int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{(t+n\pi)^s}dt \\
&>& \frac{1}{(t+n\pi)^s}\int_{0}^{\pi}\sin t dt \\
&=& \frac{2}{\pi^s}\frac{1}{(n+1)^s}
\end{eqnarray}

であるから，
\begin{eqnarray}
\int_{1}^{n\pi}\frac{|\sin x|}{x^s}dx
&=& \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x^s}dx \\
&>& \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{\pi^s}\frac{1}{(k+1)^s}\\
&=& \frac{2}{\pi^s} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)^s} \\
&=& \frac{2}{\pi^s} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^s}
\end{eqnarray}

となり，$(0<)s \le 1$のとき$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^s} \to \infty \quad (as \quad n \to \infty)$より，$\int_1^{\infty}|\frac{\sin x}{x^s}|dx$も発散します．

$1<s$のとき，$\int_1^{\infty}|\frac{\sin x}{x^s}|dx$が収束することを示します．$x\ge 1$において，

$$\left|\frac{\sin x}{x^s} \right| \le \frac{1}{x^s} $$であり，$1<s$のとき$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^s}dx$$は収束します．よって，優関数定理より，$\int_1^{\infty}|\frac{\sin x}{x^s}|dx$は収束します．