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sinx/x^sの広義積分(ディリクレ積分の拡張)の絶対収束・収束性 - 高井セミナー

sinx/x^sの広義積分(ディリクレ積分の拡張)の絶対収束・収束性

数学

今回は,0sinxxsdxが収束・絶対収束するためのsの必要十分条件を考えます.結論から言うと,以下のようなことが知られています.

命題

広義積分0sinxxsdxが収束するための必要十分条件は,0<s<2である.また絶対収束するための必要十分条件は1<s<2である.

この広義積分はx=0xのところで問題となっているので,あるc(0,)をとってc0cの収束性をそれぞれ確認すれば良いですね.今回は101に分けて考えようと思います.(ちなみに収束性はこのcのとり方に依存しません.それは,cの代わりにcをとっても,ccは通常の積分なので,収束性には影響しないことから分かります.)

さて,今からこの表を埋めていきます.他の問題にも対応できるように,できるだけ直接示していこうと思います.

10sinxxsdx1sinxxsdx
s0
0<s<1
s=1
1<s<2
2s
スクロールできます

まず10sinxxsdxを考えます.

議論①

s0のときは,被積分関数に特異点はなく,これは通常の積分ですので収束します.

それ以外の場合について,素直に広義積分の定義に従って考えていきましょう.

議論②

0<ε<1として,

1εsinxxsdx=1εsinxxx1sdx1εx1sdx
と評価できます.最後の不等式は,x(0,1)sinxx1であることを用いました.

ここで最後の式は,1s=1すなわちs=2なら,
1εx1sdx=logε(asε+0)
であり,1s1すなわちs2なら

1εx1sdx=12s(1ε2s){(2s<0)12s(2s>0)(asε+0)

であるので,結局,2s>0すなわちs<2のとき,

1εsinxxsdx1εx1sdx12s(asε+0)

が分かりました.x(0,1]sinxxは正の値なので,1εsinxxsdxε+0で(積分区間が増大するため,)増大します.s<2のときに上に有界(12sで抑えられている)ということなので,これは収束します.

さて,ここまでの議論でs<2なら10sinxxsdxは収束することがわかりましたが,これが絶対収束であることは,全く同じ議論で示されます.なぜなら,x(0,1]sinxxは正の値なので,1ε|sinxxs|dx=1εsinxxsdxだからです.もちろんs0のとき(通常の積分のとき)も同様です.

また,ここまでの議論では2sで発散することは示されていませんので,そこを示していきます.

議論③

ここでx[0,π2]のとき2πxsinxであることから,x(0,1]において2πxsinxx2なので,2sのとき,

1εsinxxsdx1εsinxx2dx1ε2πxdx=2π(logε)(asε+0)

となり,発散することがわかります.

ちなみに,議論③で用いた不等式2πxsinx(x[0,π2])は,y=2πxy=sinxのグラフを書けば簡単に理解できます.この不等式は,よく複素関数論(の応用)の複素積分の値の評価で用いられます.(複素積分を勉強したことがある人なら,見覚えがあると思います.)

ここまでの議論で分かったことをまとめてみます.

10sinxxsdx1sinxxsdx
s0(絶対)収束 (議論①)
0<s<1(絶対)収束 (議論②)
s=1(絶対)収束 (議論②)
1<s<2(絶対)収束 (議論②)
2s発散 (議論③)
スクロールできます

次に,1sinxxsdxを考えます.

議論④

s0のとき,1sinxxsdxは明らかに発散します.

もう少し詳しくいうと,sinxxs=xssinxxで振動するので,M>1としてM1sinxxsdxを考えると,Mでこれも振動します.すなわち,1sinxxsdxは発散します.

議論⑤

0<s1とします.広義積分の収束に関するコーシーの判定法を用いて,1sinxxsdxが収束することを示していきます.

0<p<qとして,

qpsinxxsdx=[cosxxs]qpcosxxs+1dxより,

|qpsinxxsdx|=|cosqqs+cosppsqpcosxxs+1dx|1qs+1ps+qp1xs+1dx=(11s)1qs+(1+1s)1ps(1+1s)1ps0(asp)

となることから,コーシーの判定法により収束します.

さて,この議論⑤で,0<s1のとき1sinxxsdxが収束することがわかりました.しかし実はこれは絶対収束ではありません.(すなわち,条件収束です.)これを示していきます.

議論⑥

(0<)s1に対して,1|sinxxs|dxが発散することを示します.

nNとして,
(n+1)πnπ|sinx|xsdx=π0sint(t+nπ)sdt>1(t+nπ)sπ0sintdt=2πs1(n+1)s

であるから,
nπ1|sinx|xsdx=n1k=1(k+1)πkπ|sinx|xsdx>n1k=12πs1(k+1)s=2πsn1k=11(k+1)s=2πsnk=21ks

となり,(0<)s1のときnk=21ks(asn)より,1|sinxxs|dxも発散します.

さて,最後に,1<sのときを考えていきましょう.このときは,絶対収束であることが簡単にわかるので,これを示していきます.(絶対収束ならば収束なので,この議論だけで十分です.収束を示すより絶対収束を示す方が簡単な場合は,お得です(?).)

議論⑦

1<sのとき,1|sinxxs|dxが収束することを示します.x1において,

|sinxxs|1xsであり,1<sのとき11xsdxは収束します.よって,優関数定理より,1|sinxxs|dxは収束します.

ちなみに,今の議論で優関数定理と言いましたが,これは単純に(真面目に)広義積分の計算をするのとほとんど変わりません.(素直に,M>1としてM1を考え,同じ積分区間で収束するような関数(優関数)で上から評価してあげたら,Mで増加かつ上に有界であることから,収束することがすぐにわかります.優関数定理は,それを定理として言ってるだけです.)

さて,ここまでで分かったことを表にまとめてみましょう.

10sinxxsdx1sinxxsdx
s0(絶対)収束 (議論①)発散(議論④)
0<s<1(絶対)収束 (議論②)(条件)収束 (議論⑤,⑥)
s=1(絶対)収束 (議論②)(条件)収束 (議論⑤,⑥)
1<s<2(絶対)収束 (議論②)(絶対)収束 (議論⑦)
2s発散 (議論③)(絶対)収束 (議論⑦)
スクロールできます

以上のことから,0sinxxsdxが収束・絶対収束するためのsの必要十分条件を考えると,

0sinxxsdx10sinxxsdx1sinxxsdxs<20<s0<s<2

0sinxxsdx0|sinxxs|dx10|sinxxs|dx1|sinxxs|dxs<21<s1<s<2

という結果が得られました.

それぞれの議論はあくまで一例であり,他にも示し方は色々あるので,考えてみてくださいね.例えば,s=1のときの10sinxxsdxの収束性は,議論②のように真面目にやらなくても,sinxx1(asx+0)より,収束性が問題になることはありません.詳しく言えば,x=0の近傍で,優関数として定数関数が取れるので,有限区間の積分が発散することはありません.

ちなみに,s=1のときのこの広義積分0sinxxdxは,ディリクレ(Dirichlet)積分と言われていて,0sinxxdx=π2であることが知られています.この値は,例えば複素積分を用いて導出することができます.(工学部の複素関数論の講義では,大抵やると思います.)

Dirichlet積分とその関連事項について,色々考察されているサイトがあったので,リンクを貼っておきます.

Dirichlet積分 | 自由気ままにWebノート
Dirichlet積分の収束性と,値の導出方法をまとめたノート.

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