今回は，高校生や高専生の数学指導をしている中で気になった，絶対値の扱い方と考え方というテーマで書きます．
実数の絶対値とは
この記事では，実数の絶対値を考えます．（もっと一般の集合上でも絶対値を考えることもできますが，ここでは通常の絶対値を考えます．）
実数に対する絶対値の概念は，通常は中学校ではじめて学ぶと思います．中学校では，このように口うるさく言われます．
「絶対値は，数直線上の原点からの距離である！」
たしかに，正しいです．（距離とは何なのかという議論は，とりあえず深入りしないことにします．）数学が得意な子には，適切な説明だと思います．しかし，この説明だけでは，生徒が偏った考え方に陥ってしまう場合もあると考えられます．
ここでは，\(a \in \mathbb{R}\)の絶対値を\( |a| \)と書くことにします．上のような教え方をされれば，例えば\( |2|=2 \)や\( |-3|=3 \)は理解できるでしょう．ここで，一定の生徒は単に，普通の数字はそのまま，マイナスのついた数字は「マイナスを外して答える」と思って答えを出すという作業にシフトしていくことでしょう．この考え方は，中学校などでは通用するかもしれませんが，高等学校以降では通用しないと考えられます．
「絶対値をとる」は関数だと思え！
そもそも，実数の絶対値の定義は以下のとおりです．
関数\( |・|:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\ge 0} \)であって，\( x \in \mathbb{R}\)に対して
\begin{eqnarray}
|x|
=
\begin{cases}
x & ( x \ge 0 ) \\
-x & ( x \lt 0 )
\end{cases}
\end{eqnarray}
であるもの．
（ただし，\( \mathbb{R}_{\ge 0} = \{ \alpha \in \mathbb{R} \mid \alpha \ge 0 \} \)とする．）
もちろん，中高生にこの定義を理解してもらうのは難しいですが，絶対値は関数であるという感覚を身につけられるように，（特に高等学校の）教員は指導をすべきだと思います．
例えば，「実数を入力すると，それが正（非負）ならそのままの値を出力，負なら-をつけて（正にして）出力するものだよ」と教えることが予測されます．
今まで中高生などを指導してきた中でよく見られた，ミスは次のようなものがあります．上のような認識があれば，これらは減ると思われます．
生徒にみられる誤解，不明点
1．\( |x| \)のように，絶対値の中に文字が入ると良く分からない．
2．\(a\)を実数の定数とするとき， \( |a| = \pm a\)であると思ってしまう．
3．\( |f(x)| \)のような，絶対値を含む関数がよく分からない．\(x\)の値について場合分けできない（場合分けするという発想にならない）．
などが挙げられます．上の定義（やその感覚）を身につけていれば，起こりえないことだと思います．
私自身，授業等でどのように指導すべきか，教員の目線でさらに考えていくことが課題です．数学教育って難しいですね．
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